Концепции современного естествознания
Математика - язык точного естествознания
" ... Все законы выводятся из опыта. Но для выражения их нужен специальный язык. Обиходный язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределен для выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться". "Механизм математического творчества, например, не отличается существенно от механизма какого бы то ни было иного творчества". (А.Пуанкаре). Математика - наука о количественных отношениях действительности. "Подлинно реалистическая математика, подобно физике, представляет собой фрагмент теоретической конструкции одного и того же реального мира."(Г.Вейль) Она является междисциплинарной наукой. Результаты ее используются в естествознании и общественных науках. Роль математики в современном естествознании проявляется в том, что новая теоретическая интерпретация какого-либо явления считается полноценной, если удается создать математический аппарат, отражающий основные закономерности этого явления. Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое в их опытах подчиняется законам математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых поразительных чудесных открытий, сделанных человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом.
Когда физик использует свои знания для предсказаний и на основе нескольких экспериментов, проведенных в конкретное время и в конкретном месте, и подходящей теории пытается объяснить явления природы, происходящие в совершенно другом месте и в совершенно другое время, и такие предсказания сбываются, то это граничит с чудом. Физик при этом лишь с удовлетворением заключает, что, по-видимому, теория верна. Но почему, собственно говоря, реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре? Кант дал на этот вопрос остроумный ответ: само наше восприятие выстраивает действительность, т. е. то, что отражается нашим разумом и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам. О внешнем мире мы не знаем ничего.
Другая мысль такова: в смирительную рубашку математики природу одевает вовсе не наша чувственная или познавательная деятельность, а сама Природа в ходе своего эволюционного развития вкладывает математику в наш разум как реально существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.
"Вступая на проложенный древними путь, скажем вместе с ними, что если приступить к божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими из-за их непреходящей достоверности" (Н.Кузанский). Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей полнотой отражалась математическими конструкциями - от огромных космологических размеров и до микрочастиц. Открытыми остаются вопросы, как математика соотносится с миром и дает возможность познавать его; какой способ познания преобладает в математике - дискурсивный или интуитивный. По мнению В Гейзенберга, "наиболее важными ему кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений". Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы. По мнению некоторых методологов, законы природы не сводятся к математическим соотношениям. Их надо понимать как любой вид организованности идеальных прообразов вещей, или пси-функций. Есть три вида организованности: простейший - числовые соотношения; более сложный - ритмика первого порядка, изучаемая математической теорией групп; ритмика второго порядка - "слово". Два первых вида организованности наполняют Вселенную мерой и гармонией, третий вид - смыслом. В рамках этого объяснения математика занимает свое особое место в познании. "Чисто логическое мышление не может принести нам никакого знания эмпирического мира. Все познание реальности отправляется от опыта и возвращается к нему. Предложения, полученные при помощи чисто логических средств, при сравнении с реальностью оказываются совершенно пустыми". (А.Эйнштейн)
Построение различных формальных систем, моделей, алгоритмических схем - лишь одна из сторон научного познания. Научную интуицию и гениальные догадки формализовать не удается. Универсальной "логики открытий" нет. Кроме того, даже наиболее тщательно поставленный эксперимент никогда в конце концов не бывает полностью изолирован от влияния окружающей среды, а состояние системы ни в один момент времени не может быть известным точно. Абсолютная (математическая) точность, о которой говорил Лаплас, физически недостижима - небольшие неточности будут всегда, и это принципиальный момент. Почти одинаковые причины будут давать почти одинаковые следствия, причем как в природе, так и в хорошо поставленном эксперименте. Это чаще всего именно так и происходит, особенно для коротких временных отрезков, в противном случае было бы невозможно установить какой-либо закон природы или же построить реально работающую машину.
Но это весьма правдоподобное предположение оказывается справедливым не всегда, более того, оно неверно для больших промежутков времени даже в случае нормального (типичного) течения природных процессов. В этом смысл захватывающего прорыва, осуществленного при исследовании динамических систем.
Существует раздел математики, посвященный анализу конфликтных ситуаций, где под компромиссом понимается коллективное решение, не нарушающее интересы всех сторон (устойчивой системы). Всякий компромисс достигается определенной последовательностью шагов и действий. Например, для разрешения экологических проблем необходимо учесть все ограничения, нарушения которых означало бы нарушение гомеостатического состояния. Это позволило составить формальную систему запретов или минимум условий, необходимых для обеспечения гомеостазиса. В 1944 г. в США опубликована книга Д. Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение", в которой рассматривались вопросы математического описания способов принятия решений, типичных для конкурентной экономики. Впоследствии теория игр превратилась в общую математическую теорию конфликтов, описывающую военные, экономические и правовые коллизии, столкновения, связанные с биологической борьбой за существование, различные игровые стратегии. В случае игр с противоположными интересами (антагонистическая игра) оптимальной считается стратегия, направленная на достижение максимального выигрыша. Конкуренция здесь является разновидностью конфликта.
Математический аппарат терии катастроф позволяет свести огромное многообразие сложных процессов к небольшому числу точно изученных схем. Для одной-двух переменных, характеризующих состояние системы, и не более пяти управляющих параметров существует семь типов элементарных катастроф. Теория катастроф широко используется в гидро- и аэродинамике, оптике, метеорологии, квантовой динамике для описания нелинейных систем, далеких от равновесия, подводя стандартную и эффективную базу под описание их качественных изменений.
Рассмотрим несколько конкретных примеров применения математики в естествознании.
Мера и гармония в процессе измерений.
Мера есть результат взаимодействия сторон бинарной оппозиции (объекта и субъекта). Предполагается, что узловые состояния меры устанавливаются как минимум двумя путями, которые могут основываться на различных парах принципов.
1. Принцип простоты плюс принцип квантованности действия. Простой степенной закон развития мер х, х2, ... хк (например, согласно Марксу, измеряемый временем сложный труд есть возведенный в степень труд простой), где х - качественно определяет квант действия, усредненная величина которого равна х: хк+1-хк=х (подобно квантованности действий в микромире для соседних уровней атомов: Ек+1-Ек=hn переход между узловыми состояниями в макромире также связан с поглощением или испусканием кванта действия). Как следствие, полагая что x=1/br, получим (1/br)k+1-(1/br)к-1/br =0 или brk+br-1=0.
Решая уравнение, получаем связь между уровнями сложности системы (метчиками эволюционных фаз к = 1, 2, 3) и величиной кванта действия, которая определяется соответствующим золотым сечением (обобщенным) brк = 0,500; 0,618; 1,682.
2. Принцип кратных отношений плюс принцип сохранения. Количество информации (по Хартли) определяется как H=log(p). При этом справедлива альтернативная мера R=log(1- p) ("Стакан наполовину полон или наполовину пуст"). С учетом принципа сохранения имеем: H+R = 1. Соотношение между Н и R запишем, исходя из принципа кратных отношений, следующих из основного уравнения измерения (Q=kU, где U - эталонная единица). Две меры, заданные на одном и том же множестве, кратны:log(1-p)=klogp. Как результат получаем то же самое соотношение, что и в первом случае pk+p-1=0.
3. Принцип дополнительности плюс принцип наблюдаемости плюс принцип минимума средств (бритва Оккама). Произведение мер m будет иметь вид m1, ... ms=ms, где m- среднегеометрическая характеристика объекта. Сумма мер включает m - первое слагаемое, его логарифм (информация об объекте) - второе слагаемое, вариация отражения по отношению к вариации независимой отслеживаемой величины - третье слагаемое. В итоге минимуму суммы мер - функции: F=ms + S*log(m) + d*(S*log(m)) отвечает уравнение: ms+1+m-1=0, при S=0,1,2,3. (Сороко Э. М. Универсальный эволюционизм и синергетика: инварианты взаимодействия мер. Материалы Первого Российского Философского конгресса, Т. 8, СПб: 1998, С. 220-223)
Важным результатом, полученным в данном примере, является то что гармоничные соотношения между измеряемыми величинами разных уровней сложности, подчиняющиеся золотому сечению, появляются в результате измерений и не зависят от природы измеряемой величины.
Этот результата противоречит пифагорейскому синдрому в науке, который кратко формулируется следующим образом: все вещи суть числа. Смысл его состоит в том, что числа, существующие лишь в сознании человека, отождествляются с вещами, существующими вне и независимо от него. Почему реальные явления подчиняются теориям, которые непосредственно описывают лишь их идеализированные аналогии.
Математика и наука в целом оперируют теоретическими образами одного и того же объективного мира, именно образами, а не только символами, знаками: иначе из различных теоретических посылок как физических, так и математических не получался бы один и тот же элемент теории. Рефлексия в науке приводит к тому, что предмет рефлексии отождествляется с предметом науки. Пифагорейский синдром обнаруживается в естествознании всюду, где теоретические структуры, математические формы, абстрактные симметрии, научные законы, являющиеся элементами теории, отождествляются с соответствующими структурами, формами, симметриями, законами объективного мира, существующими вне и независимо от какой бы то ни было теории.
Математическая модель развития систем.
Предполагаемая модель описывает как эволюционные участки развития, так и скачки, выделяющие качественно однородные интервалы на различных уровнях иерархии развивающейся системы. Для описания процесса на одном уровне иерархии вводится уравнение, в основе которого лежат представления о ветвящихся процессах и влинянии предыстории на развитие. (См.: А. В. Жирмунский, В. И. Кузьмин Критические уровни в развитии природных систем. Л., Наука, 1990. С. 28-53)
В основу формирования уравнения развития положены следующие аксиомы: первая - процесс развития лимитируется некоторой характеристикой системы (базовой переменной), определяемой ветвящимся процессом (цепной реакцией); вторая - процесс развития существенно зависит от его предыстории. Согласно первой аксиоме скорость изменения базовой характеристики пропорционально ее уровню х, что в простейшем случае приводит к экспоненте.
1. В случае линейного роста уравнение развития: dx/dbr=kx, закон развития экспоненциальный: x=x0exp(kbr), где k - постоянная величина - коэффициент роста. Этот закон описывает процессы развития при постоянных внутренних и внешних условиях. Например, рост палочковидной бактерии, для которой питание происходит через поверхность. Площадь поверхности в силу малой относительной толщины пропорциональна ее длине, значит питаемый через единицу поверхности объем не меняется в процессе роста.
2. В случае, если константа скорости роста меняется по обратно-пропорциональному времени закону, уравнение развития будет иметь вид: dx/dbr=(B/br)x, откуда следует степенной закон развития: x=AbrB. Как результат - относительные приросты (dx/dbr)/x линейны в двойном логарифмическом масштабе (ln(x), ln(br)). В процессе развития систем реализуются механизмы, которые приводят в определенные моменты к дискретной смене темпов экспоненциального роста. Примером степенного закона развития может служить динамика роста шаровидной бактерии, питание которой происходит с поверхности, а питать нужно весь объем.
3. В системе с меняющимся во времени коэффициентом роста k(br) и с существенным влиянием предыстории развития, описываемой запаздыванием по времени (памятью) br(br), уравнение развития будет иметь вид: dx/dbr=k(br)x[br-br(br)]. Как установлено А. В. Жирмунским и В. И. Кузьминым, уравнения развития взаимосвязаны с основными моделями обработки экспериментальных данных (модели роста, колебаний, теорий вероятностей и математической статистики, теории информации, катастроф). Модели роста и колебаний описывают динамику процессов. Модели теории вероятности и математической статистики анализируют данные статистического разреза, относящиеся к одному моменту времени, и динамику(теория случайных процессов). Модели теории информации рассматривают характеристики процессов преобразования и передачи сообщений. Теория катастроф изучает фазовые переходы в развитии систем.
На основании законов развития можно выделить звено развития - единицу ритмического развития системы, включающую эволюционную и критическую стадии. Условие синхронизации критических рубежей определяют ячейку развития. Критические уровни развития систем получаются как степени функции числа Непера. е: (1/е)(1/е), 1/е, 1, 0, 1, е, ее, .
Иерархия критических констант и их синхронизации выявляют значимую информацию о временных и пространственных ритмах, а также структуры природных систем различных уровней иерархии.
Математические закономерности эволюции и перехода порядка в хаос.
Проследим эти закономерности на конкретном примере. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью хj и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью хj+1. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения хj+1= с*хj(1-хj), а убыль - вторым. Параметр роста с является аналогом числа Re в уравнениях гидродинамики, результаты расчета показаны на рис. , где линии отражают численность популяции при больших значениях j.
При с < 1 популяция при увеличении j вымирает и исчезает. В области 1 < с < 3 численность приближается к значению х=1-(1/с), которое получается при подстановке в уравнение вместо хj+1 и хj их предельных значений; эта область стационарного состояния. Следующий диапазон 3 < с < 3,4 соответствует двум ветвям решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения, и откладывает много яиц. Но перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в следующем году до малого значения, так что период колебаний численности равен двум годам. Далее, при 3,4 < с < 3,54 имеем уже четыре ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64... ветвей.
Таким образом, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядоченно и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем: химических, электрических, гидродинамических, механических и т. д. В 1978 г. М. Фейнбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Движение становится апериодическим при больших значениях n, (сj-c) порядка d-n, где n=4,66 для всех систем. Если выбрать соседние значения хj в 2n цикле, то разность между ними убывает с ростом n как an, где a=2,5 и тоже является универсальным.
Законы Фейгенбаума подтверждены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума.
При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится апериодическим, поведенеие системы - хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных процессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.
Когда физик использует свои знания для предсказаний и на основе нескольких экспериментов, проведенных в конкретное время и в конкретном месте, и подходящей теории пытается объяснить явления природы, происходящие в совершенно другом месте и в совершенно другое время, и такие предсказания сбываются, то это граничит с чудом. Физик при этом лишь с удовлетворением заключает, что, по-видимому, теория верна. Но почему, собственно говоря, реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре? Кант дал на этот вопрос остроумный ответ: само наше восприятие выстраивает действительность, т. е. то, что отражается нашим разумом и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам. О внешнем мире мы не знаем ничего.
Другая мысль такова: в смирительную рубашку математики природу одевает вовсе не наша чувственная или познавательная деятельность, а сама Природа в ходе своего эволюционного развития вкладывает математику в наш разум как реально существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.
"Вступая на проложенный древними путь, скажем вместе с ними, что если приступить к божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими из-за их непреходящей достоверности" (Н.Кузанский). Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей полнотой отражалась математическими конструкциями - от огромных космологических размеров и до микрочастиц. Открытыми остаются вопросы, как математика соотносится с миром и дает возможность познавать его; какой способ познания преобладает в математике - дискурсивный или интуитивный. По мнению В Гейзенберга, "наиболее важными ему кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений". Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы. По мнению некоторых методологов, законы природы не сводятся к математическим соотношениям. Их надо понимать как любой вид организованности идеальных прообразов вещей, или пси-функций. Есть три вида организованности: простейший - числовые соотношения; более сложный - ритмика первого порядка, изучаемая математической теорией групп; ритмика второго порядка - "слово". Два первых вида организованности наполняют Вселенную мерой и гармонией, третий вид - смыслом. В рамках этого объяснения математика занимает свое особое место в познании. "Чисто логическое мышление не может принести нам никакого знания эмпирического мира. Все познание реальности отправляется от опыта и возвращается к нему. Предложения, полученные при помощи чисто логических средств, при сравнении с реальностью оказываются совершенно пустыми". (А.Эйнштейн)
Построение различных формальных систем, моделей, алгоритмических схем - лишь одна из сторон научного познания. Научную интуицию и гениальные догадки формализовать не удается. Универсальной "логики открытий" нет. Кроме того, даже наиболее тщательно поставленный эксперимент никогда в конце концов не бывает полностью изолирован от влияния окружающей среды, а состояние системы ни в один момент времени не может быть известным точно. Абсолютная (математическая) точность, о которой говорил Лаплас, физически недостижима - небольшие неточности будут всегда, и это принципиальный момент. Почти одинаковые причины будут давать почти одинаковые следствия, причем как в природе, так и в хорошо поставленном эксперименте. Это чаще всего именно так и происходит, особенно для коротких временных отрезков, в противном случае было бы невозможно установить какой-либо закон природы или же построить реально работающую машину.
Но это весьма правдоподобное предположение оказывается справедливым не всегда, более того, оно неверно для больших промежутков времени даже в случае нормального (типичного) течения природных процессов. В этом смысл захватывающего прорыва, осуществленного при исследовании динамических систем.
Существует раздел математики, посвященный анализу конфликтных ситуаций, где под компромиссом понимается коллективное решение, не нарушающее интересы всех сторон (устойчивой системы). Всякий компромисс достигается определенной последовательностью шагов и действий. Например, для разрешения экологических проблем необходимо учесть все ограничения, нарушения которых означало бы нарушение гомеостатического состояния. Это позволило составить формальную систему запретов или минимум условий, необходимых для обеспечения гомеостазиса. В 1944 г. в США опубликована книга Д. Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение", в которой рассматривались вопросы математического описания способов принятия решений, типичных для конкурентной экономики. Впоследствии теория игр превратилась в общую математическую теорию конфликтов, описывающую военные, экономические и правовые коллизии, столкновения, связанные с биологической борьбой за существование, различные игровые стратегии. В случае игр с противоположными интересами (антагонистическая игра) оптимальной считается стратегия, направленная на достижение максимального выигрыша. Конкуренция здесь является разновидностью конфликта.
Математический аппарат терии катастроф позволяет свести огромное многообразие сложных процессов к небольшому числу точно изученных схем. Для одной-двух переменных, характеризующих состояние системы, и не более пяти управляющих параметров существует семь типов элементарных катастроф. Теория катастроф широко используется в гидро- и аэродинамике, оптике, метеорологии, квантовой динамике для описания нелинейных систем, далеких от равновесия, подводя стандартную и эффективную базу под описание их качественных изменений.
Рассмотрим несколько конкретных примеров применения математики в естествознании.
Мера и гармония в процессе измерений.
Мера есть результат взаимодействия сторон бинарной оппозиции (объекта и субъекта). Предполагается, что узловые состояния меры устанавливаются как минимум двумя путями, которые могут основываться на различных парах принципов.
1. Принцип простоты плюс принцип квантованности действия. Простой степенной закон развития мер х, х2, ... хк (например, согласно Марксу, измеряемый временем сложный труд есть возведенный в степень труд простой), где х - качественно определяет квант действия, усредненная величина которого равна х: хк+1-хк=х (подобно квантованности действий в микромире для соседних уровней атомов: Ек+1-Ек=hn переход между узловыми состояниями в макромире также связан с поглощением или испусканием кванта действия). Как следствие, полагая что x=1/br, получим (1/br)k+1-(1/br)к-1/br =0 или brk+br-1=0.
Решая уравнение, получаем связь между уровнями сложности системы (метчиками эволюционных фаз к = 1, 2, 3) и величиной кванта действия, которая определяется соответствующим золотым сечением (обобщенным) brк = 0,500; 0,618; 1,682.
2. Принцип кратных отношений плюс принцип сохранения. Количество информации (по Хартли) определяется как H=log(p). При этом справедлива альтернативная мера R=log(1- p) ("Стакан наполовину полон или наполовину пуст"). С учетом принципа сохранения имеем: H+R = 1. Соотношение между Н и R запишем, исходя из принципа кратных отношений, следующих из основного уравнения измерения (Q=kU, где U - эталонная единица). Две меры, заданные на одном и том же множестве, кратны:log(1-p)=klogp. Как результат получаем то же самое соотношение, что и в первом случае pk+p-1=0.
3. Принцип дополнительности плюс принцип наблюдаемости плюс принцип минимума средств (бритва Оккама). Произведение мер m будет иметь вид m1, ... ms=ms, где m- среднегеометрическая характеристика объекта. Сумма мер включает m - первое слагаемое, его логарифм (информация об объекте) - второе слагаемое, вариация отражения по отношению к вариации независимой отслеживаемой величины - третье слагаемое. В итоге минимуму суммы мер - функции: F=ms + S*log(m) + d*(S*log(m)) отвечает уравнение: ms+1+m-1=0, при S=0,1,2,3. (Сороко Э. М. Универсальный эволюционизм и синергетика: инварианты взаимодействия мер. Материалы Первого Российского Философского конгресса, Т. 8, СПб: 1998, С. 220-223)
Важным результатом, полученным в данном примере, является то что гармоничные соотношения между измеряемыми величинами разных уровней сложности, подчиняющиеся золотому сечению, появляются в результате измерений и не зависят от природы измеряемой величины.
Этот результата противоречит пифагорейскому синдрому в науке, который кратко формулируется следующим образом: все вещи суть числа. Смысл его состоит в том, что числа, существующие лишь в сознании человека, отождествляются с вещами, существующими вне и независимо от него. Почему реальные явления подчиняются теориям, которые непосредственно описывают лишь их идеализированные аналогии.
Математика и наука в целом оперируют теоретическими образами одного и того же объективного мира, именно образами, а не только символами, знаками: иначе из различных теоретических посылок как физических, так и математических не получался бы один и тот же элемент теории. Рефлексия в науке приводит к тому, что предмет рефлексии отождествляется с предметом науки. Пифагорейский синдром обнаруживается в естествознании всюду, где теоретические структуры, математические формы, абстрактные симметрии, научные законы, являющиеся элементами теории, отождествляются с соответствующими структурами, формами, симметриями, законами объективного мира, существующими вне и независимо от какой бы то ни было теории.
Математическая модель развития систем.
Предполагаемая модель описывает как эволюционные участки развития, так и скачки, выделяющие качественно однородные интервалы на различных уровнях иерархии развивающейся системы. Для описания процесса на одном уровне иерархии вводится уравнение, в основе которого лежат представления о ветвящихся процессах и влинянии предыстории на развитие. (См.: А. В. Жирмунский, В. И. Кузьмин Критические уровни в развитии природных систем. Л., Наука, 1990. С. 28-53)
В основу формирования уравнения развития положены следующие аксиомы: первая - процесс развития лимитируется некоторой характеристикой системы (базовой переменной), определяемой ветвящимся процессом (цепной реакцией); вторая - процесс развития существенно зависит от его предыстории. Согласно первой аксиоме скорость изменения базовой характеристики пропорционально ее уровню х, что в простейшем случае приводит к экспоненте.
1. В случае линейного роста уравнение развития: dx/dbr=kx, закон развития экспоненциальный: x=x0exp(kbr), где k - постоянная величина - коэффициент роста. Этот закон описывает процессы развития при постоянных внутренних и внешних условиях. Например, рост палочковидной бактерии, для которой питание происходит через поверхность. Площадь поверхности в силу малой относительной толщины пропорциональна ее длине, значит питаемый через единицу поверхности объем не меняется в процессе роста.
2. В случае, если константа скорости роста меняется по обратно-пропорциональному времени закону, уравнение развития будет иметь вид: dx/dbr=(B/br)x, откуда следует степенной закон развития: x=AbrB. Как результат - относительные приросты (dx/dbr)/x линейны в двойном логарифмическом масштабе (ln(x), ln(br)). В процессе развития систем реализуются механизмы, которые приводят в определенные моменты к дискретной смене темпов экспоненциального роста. Примером степенного закона развития может служить динамика роста шаровидной бактерии, питание которой происходит с поверхности, а питать нужно весь объем.
3. В системе с меняющимся во времени коэффициентом роста k(br) и с существенным влиянием предыстории развития, описываемой запаздыванием по времени (памятью) br(br), уравнение развития будет иметь вид: dx/dbr=k(br)x[br-br(br)]. Как установлено А. В. Жирмунским и В. И. Кузьминым, уравнения развития взаимосвязаны с основными моделями обработки экспериментальных данных (модели роста, колебаний, теорий вероятностей и математической статистики, теории информации, катастроф). Модели роста и колебаний описывают динамику процессов. Модели теории вероятности и математической статистики анализируют данные статистического разреза, относящиеся к одному моменту времени, и динамику(теория случайных процессов). Модели теории информации рассматривают характеристики процессов преобразования и передачи сообщений. Теория катастроф изучает фазовые переходы в развитии систем.
На основании законов развития можно выделить звено развития - единицу ритмического развития системы, включающую эволюционную и критическую стадии. Условие синхронизации критических рубежей определяют ячейку развития. Критические уровни развития систем получаются как степени функции числа Непера. е: (1/е)(1/е), 1/е, 1, 0, 1, е, ее, .
Иерархия критических констант и их синхронизации выявляют значимую информацию о временных и пространственных ритмах, а также структуры природных систем различных уровней иерархии.
Математические закономерности эволюции и перехода порядка в хаос.
Проследим эти закономерности на конкретном примере. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью хj и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью хj+1. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения хj+1= с*хj(1-хj), а убыль - вторым. Параметр роста с является аналогом числа Re в уравнениях гидродинамики, результаты расчета показаны на рис. , где линии отражают численность популяции при больших значениях j.
При с < 1 популяция при увеличении j вымирает и исчезает. В области 1 < с < 3 численность приближается к значению х=1-(1/с), которое получается при подстановке в уравнение вместо хj+1 и хj их предельных значений; эта область стационарного состояния. Следующий диапазон 3 < с < 3,4 соответствует двум ветвям решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения, и откладывает много яиц. Но перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в следующем году до малого значения, так что период колебаний численности равен двум годам. Далее, при 3,4 < с < 3,54 имеем уже четыре ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64... ветвей.
Таким образом, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядоченно и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем: химических, электрических, гидродинамических, механических и т. д. В 1978 г. М. Фейнбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Движение становится апериодическим при больших значениях n, (сj-c) порядка d-n, где n=4,66 для всех систем. Если выбрать соседние значения хj в 2n цикле, то разность между ними убывает с ростом n как an, где a=2,5 и тоже является универсальным.
Законы Фейгенбаума подтверждены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума.
При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится апериодическим, поведенеие системы - хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных процессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.
- Войдите на сайт для отправки комментариев