Фрактал: геометрический образ подобия

Обозначением, символом самоподобия в современной математике является относительно недавно возникшее геометрическое понятие "фрактал". Объекты, которые сейчас называются фракталами, впервые появились в математике при развитии понятий "линия", "плоская фигура" и т.п.: однако к ним относятся такие фигуры, которые нельзя назвать ни линией, ни поверхностью в полном смысле слова. Примером такого объекта является кривая Коха, названная в честь датского математика Хельге фон Коха. Она получается из отрезка прямой последовательной заменой каждого прямолинейного участка на ломаную линию путем "вытягивания" средней трети исходного отрезка до равностороннего треугольника. Повторяя такую процедуру бесконечное число раз, в пределе мы получим конечную "линию", соединяющую две точки, имеющую бесконечную длину. Для привычных нам линий такое свойство кажется экзотичным. В то же время назвать прямую Коха плоской фигурой тоже нельзя, скорее это "пушистая линия".

Строгого определения фрактала не существует. Наиболее известными являются определения математика Бенуа Мандельброта, благодаря работам которого, мы теперь осознаем насколько важны эти новые геометрические объекты для понимания окружающего мира. В основе первого определения лежит представление о топологической разномерности множеств: разномерность точки принимается равной 0, линии - 1, плоской фигуры - 2 и т.д. "Фракталами называются множества дробной размерности." Определение отражает "пограничное" свойство фракталов лежать между точкой и линией или между линией и плоской фигурой (это как раз такие "пушистые линии", как описанная выше кривая Коха).Другое более общее определение фрактала звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому." Неопределенность этого определения, содержащаяся в словах "в некотором смысле", делает понятие фрактала чуть ли не всеобъемлющим.

Если посмотреть на наш мир в целом, от момента его рождения и до наших дней, возникает величественный образ Вселенной, как гигантского пространственно-временного фрактала, возникшего в точке Большого взрыва и выросшего к настоящему времени, подобно мифическому мировому древу, до необъятных размеров фрактала, несущего в своей структуре единый, но пока еще не уловленный нами закон природы.